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Cuando Dos Ángulos Son Congruentes

• Elvira Olguin
• 12.08.2023
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Ángulos congruentes – Cuando dos ángulos tienen la misma medida se dice que son congruentes, Para representar que los ángulos alpha y beta son congruentes se escribe: /_ alpha ~= /_ beta que se lee: “el ángulo alfa es congruente con el ángulo beta”. También se representa la congruencia de dos ángulos gráficamente, distinguiéndolos con la misma marca de la siguiente manera: En la imagen anterior, por ejemplo, los ángulos /_ CAB y /_ GDF tienen la misma marca, lo que indica que /_ CAB ~= /_ GDF, De la misma forma /_ ABC ~= /_ DFG y /_ ACB ~= /_ DGF, Cuando no hay posibilidad de confusión, se indican los ángulos solo con la letra que representa el vértice,

¿Cuáles son los 4 criterios de congruencia?

Resolución de problemas con criterios de congruencia Aprendizaje esperado : a nálisis de la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros. Énfasis: a plicar los criterios de congruencia de triángulos para probar las propiedades de los paralelogramos.

1. ¿Qué vamos a aprender? Aplicarás los criterios de congruencia de triángulos, para probar las propiedades de los paralelogramos a través de la resolución de problemas.
2. ¿Qué hacemos? ¿Te has percatado de que al caminar por las calles puedes observar construcciones, áreas naturales y todo tipo de objetos en los que puedes encontrar cuerpos y figuras geométricas? No sólo en el exterior, también en el interior de tu hogar las puedes encontrar; por ejemplo, en las mesas, ventanas, puertas, los retratos, teléfonos celulares, y hasta en los azulejos de los pisos.

¿Las has apreciado? ¿Qué tipo de figuras has encontrado? Puedes observar por ejemplo: algunos espejos circulares; algunos platos son de forma ovalada, en los balones de futbol hay pentágonos y hasta hexágonos. También hay figuras que están compuestas por dos pares de lados paralelos, ¿sabes a cuáles son? Se llaman paralelogramos. En la imagen se observan cuatro paralelogramos. En primer lugar el cuadrado; debajo de él, un rectángulo; el rombo al lado derecho; y arriba a la derecha, un romboide. Para realizar un análisis de esta clasificación de figuras, las propiedades de un paralelogramo son las siguientes: Primera propiedad, la suma de los cuatro ángulos internos es igual a 360°; para que lo observes, pon atención al siguiente video:

1. Propiedades de un paralelogramo Del minuto: 00:00 al 01:12 https://youtu.be/OeUzGP9d9PI Segunda propiedad: Un par de ángulos contiguos son suplementarios, compruébalo observando el siguiente video:
2. Propiedades de un paralelogramo Del minuto: 01:13 al 02:02 https://youtu.be/OeUzGP9d9PI La tercera propiedad enuncia que los ángulos internos opuestos miden lo mismo; analízalo con el siguiente video:
3. Propiedades de un paralelogramo

Del minuto: 02:03 al 02:48 https://youtu.be/OeUzGP9d9PI La cuarta propiedad indica que las dos diagonales dividen al paralelogramo en dos triángulos congruentes, lo cual puedes observar en la siguiente imagen. En la imagen puedes identificar un paralelogramo, el cual está dividido en triángulos de diferente color, formados por las dos diagonales del paralelogramo, comparten uno de sus lados con cada diagonal del paralelogramo. Dos o más triángulos son congruentes cuando son iguales, tanto en la medida de sus ángulos como de sus lados, es decir: que sin importar la posición en la que se encuentran los triángulos, la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos son iguales. Maestra Carmen VO: Criterio Ángulo, Lado, Ángulo (ALA). Cuando en dos triángulos se tienen dos ángulos y un lado comprendido entre ellos, congruentes; estos triángulos son congruentes. Maestra Carmen VO: Criterio Lado, Lado, Lado (LLL). Cuando se tienen dos triángulos y sus tres lados correspondientes son congruentes, entonces los triángulos son iguales, o congruentes. Te invitamos a resolver una situación-problema, en este caso, con la aplicación de los criterios de congruencia de los triángulos. Una lancha atraviesa un río, cuyos márgenes son paralelos. Esa lancha recorre un total de 4 km en línea recta y exactamente a mitad de camino deja caer una boya con un ancla que deberá recoger otra lancha (una boya es un objeto flotante que se emplea a modo de señal).

La lancha sale desde la misma orilla y de un punto a 5 km del punto de partida de la primera, y navegando siempre en línea recta recoge la boya al cabo de 4 km. ¿A qué distancia de la primera lancha llega la segunda lancha a la otra orilla? Para poder dar respuesta a esta situación, representamos a partir de trazos el recorrido de la primera lancha.

Para resolver el problema, comenzamos analizando los datos que se proporcionan y modelamos la situación. El río corre entre dos márgenes paralelos, que representaremos con dos rectas paralelas que llamaremos “r” y “s”. Denotemos por A y B el punto de partida y de llegada de la primera lancha, respectivamente. En la modelación, esto quiere decir que “O” es el punto medio del segmento AB. Sabemos que la lancha recorre una distancia total de 4 km, por lo tanto, el segmento AB = 4 km y el segmento AO = al segmento OB = 2 km. Ahora representamos el recorrido de la segunda lancha, de forma que podamos completar los trazos. La segunda lancha sale de un punto C de la orilla “r”. Este punto está a 5 km del punto de partida de la primera lancha, lo que quiere decir que el segmento AC = 5 km.

La segunda lancha se mueve siempre en línea recta, pasando por “O”. Llega al margen “s” del río en un punto que denotamos por “D”. Como se mueve siempre en línea recta, el punto “O” pertenece al segmento CD. Por último, la lancha recoge la boya, que se encuentra en el punto O, al cabo de 4 km, lo que nos indica que el segmento CO = 4 km.

Podemos finalmente realizar el trazo completo de la situación. Ya hemos creado un modelo que representa el problema, para resolverlo debemos trabajar con los criterios de congruencia, y al final interpretar los resultados que obtengamos en función de lo que cada uno de los objetos geométricos, que tenemos, representa en la situación real. Por otro lado, el ángulo AOC = ángulo BOD por ser opuestos por el vértice y el segmento AO = al segmento OB, por lo tanto son iguales a 2 km. Observa que se forman dos triángulos en los trazos, el triángulo AOC y el triángulo BOD tienen un lado que mide lo mismo, el cual es el segmento AO y el segmento OB que miden 2 km, y los ángulos adyacentes respectivamente congruentes, porque se forman entre rectas paralelas. Por el criterio ALA resultan congruentes los dos triángulos, y esto nos ayudará a determinar la distancia que el problema nos pide encontrar. Los lados homólogos son el segmento AO y el segmento OB, el segmento OC y el segmento OD y el segmento AC y el segmento BD. Esto implica que el segmento OD = al segmento OC y el segmento AC = al segmento BD. Concluimos que el segmento BD = 5 km. Por lo tanto, la segunda lancha llega a un punto a 5 km de la primera lancha (longitud de BD). Aplicando un criterio de congruencia resolvimos la situación anterior, demostrando que los dos triángulos que se forman entre los trazos son congruentes; y al ser congruentes, sus ángulos y lados tienen la misma medida.

Es importante que no pierdas de vista que los criterios de congruencia te ayudarán a resolver ciertas situaciones de forma más eficiente a partir de una demostración geométrica. Ya resolviste una situación que implica utilizar los criterios de congruencia de los triángulos; pero, estos mismos criterios podrían aplicarse a situaciones en donde intervengan el trazo de paralelogramos.

Para ejemplificarlo utilizarás una situación que puedes encontrar en su libro de texto de Matemáticas, de primer grado. Un gato hidráulico sirve para levantar automóviles, y está diseñado como se muestra en la imagen: Puedes observar en la imagen un gato hidráulico que al manipularse forma un cuadrado, cuyos lados miden 33 centímetros; a su vez está dividido por un tornillo en su diagonal horizontal, que lo representamos como el segmento AB con una longitud de 46.7 centímetros, sostenido por uno de sus vértices; apoyado en una base que mide 7 centímetros de altura.

Si el eje entre los puntos A y B mide 46.7 centímetros cuando el gato tiene la forma de cuadrado, aproximadamente, ¿a qué altura levantará un automóvil? Conforme a la situación planteada, lo que necesitamos conocer es la altura a la que se levanta un automóvil sabiendo que el gato hidráulico está apoyado en una base que mide 7 cm, por lo tanto, requerimos determinar esta longitud.

Comenzaremos analizando los datos que nos proporcionan y realizamos un trazo que represente la situación. El gato hidráulico está extendido de tal manera que su forma se asemeja a la de un cuadrado, por lo que marcaremos sus dos vértices faltantes con el punto D y el punto E. El segmento AB mide 46.7 cm, ya que este dato lo proporciona el problema; este segmento es un lado que forma parte de los dos triángulos. Observa qué tipo de triángulos se forman, son triángulos rectángulos, y una de sus características es que tienen un ángulo recto, es decir, miden 90°. Al mismo tiempo, una de las propiedades de los paralelogramos, enuncia que su diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. Tracemos la otra diagonal, perpendicular a la ya trazada, y se formarían de nuevo dos triángulos congruentes. MAESTRO DAVID V.O (Con’t) Los triángulos que se forman con las diagonales tienen las mismas medidas de lados y ángulos, es decir, son congruentes; por lo tanto, podemos concluir que el segmento DE mide lo mismo que el segmento AB, porque estamos hablando de triángulos congruentes y sus lados deben tener las mismas medidas; así que mide 46.7 cm. Conforme a la demostración anterior, ya puedes dar respuesta a la pregunta: ¿A qué altura levanta el gato hidráulico un automóvil? Ya sabes que la altura del gato hidráulico es 46.7 cm, eso lo tendrás que sumar con la medida de la base, no olvides que el gato tiene una pequeña base que mide 7 cm. Suma 46.7 más 7 y el resultado es 53.7 cm, que es la elevación del automóvil. Los criterios de congruencia te ayudan a resolver situaciones de forma más eficiente. Mediante la observación de las figuras geométricas, puedes encontrar soluciones a ciertas medidas; no olvides que los criterios de congruencia son los siguientes:

• Lado, Ángulo, Lado (LAL).
• Ángulo, Lado, Ángulo (ALA)
• Lado, Lado, Lado (LLL)

Los paralelogramos también nos permiten identificar elementos que pueden ser congruentes, sobre todo cuando los dividimos en triángulos y de esta forma aplicamos los criterios de congruencia de los triángulos. Reconociendo un paralelogramo, este es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos y éstos son: cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

Al mismo tiempo recuerda que aunque existan distintos paralelogramos, conservan las mismas propiedades entre las que se encuentran: los cuatro ángulos interiores suman 360°, sus pares de ángulos contiguos son suplementarios, los ángulos opuestos son iguales y sus diagonales dividen al paralelogramo en dos triángulos congruentes.

El r eto de h oy: ¿Has observado alguna vez vitrales? Quizá conoces uno que está ubicado en Toluca, Estado de México; en el jardín botánico, y que es conocido como: el Cosmovitral. Como reto, les proponemos lo siguiente: Identifica en el vitral los triángulos congruentes; te sugerimos, como estrategia ante situaciones semejantes, colorear los pares de triángulos con un mismo color y analizar en cada caso qué criterio de congruencia utilizaste. Para la resolución de este reto, puedes guiarte con el siguiente video:

Un vitral con triángulos congruentes.

Del minuto: 00:09 al 03:09 https://youtu.be/5tdD3VXS9I0 ¡Buen trabajo! Gracias por tu esfuerzo. Para saber más: Lecturas https://www.conaliteg.sep.gob.mx/

¿Qué par de ángulos son congruentes y cuáles no?

Los ángulos rectos son congruentes. Los suplementarios del mismo ángulo, o su congruente, son ángulos congruentes. Los complementarios del mismo ángulo, o su congruente, son ángulos congruentes. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

¿Cómo saber si dos puntos son congruentes?

Dos segmentos de recta son congruentes si y solo si tienen la misma longitud.

¿Cuándo se dice que dos figuras son congruentes?

En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación, es decir, si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión.

¿Cuál es la diferencia de congruencia y semejanza?

Congruencia y semejanza Aprendizaje esperado: e xplora las características y propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos. Énfasis: c onsolidar los conceptos de congruencia y semejanza. ¿Qué vamos a aprender? Prepara tu cuaderno de apuntes, lápiz y goma.

Asimismo, se necesita que realices tus anotaciones durante la sesión. Algo que ya conoces y has utilizado es el razonamiento deductivo. El razonamiento deductivo es cuando se obtienen algunas conclusiones a partir de datos o hechos conocidos. Lo primero es que las figuras con las que se inicia el estudio cuando se trata de congruencia y semejanza, son los triángulos.

Conocerás los conceptos relacionados con la congruencia y la semejanza de triángulos. ¿Qué hacemos? Los triángulos son los polígonos con menor número de lados que existe en la geometría plana. Están presentes en muchos ámbitos de la vida cotidiana y el estudio formal de los triángulos ha permitido su uso en diversas formas.

Es muy importante utilizar el lenguaje de las matemáticas adecuadamente, pues ayudará a expresarte correctamente y así, las personas y tú mismo tendrás una mejor comprensión de lo que haces y estudias. Siguiendo esta idea, identificarás los elementos de los triángulos y la nomenclatura asociada. Observa este triángulo: A cada vértice lo identificarás con una letra mayúscula y nombrarás a este el triángulo ABC.

Puedes utilizar cualquier letra del abecedario y utilizarás A’, B’ y C’ si los quieres asociar a otra figura, indicando que hay algún tipo de correlación entre estos vértices. Los lados de los triángulos se pueden identificar con las letras del abecedario, pero minúsculas. Para referirse al valor de los ángulos como una incógnita, se acostumbra a usar las letras minúsculas del alfabeto griego. Las más usadas son: alfa, beta, gamma, teta, lambda, omega. Revisa un poco de nomenclatura: Segmento de recta. Para representarlo se utilizan las letras de los dos puntos en que ésta comprendido, a veces se utiliza una barra arriba de las letras. Para simbolizar a un ángulo siempre se antecede a los vértices que forman al ángulo, por ejemplo, en el triángulo ABC, siendo el vértice de en medio donde se encuentra el ángulo, o la designación del ángulo. Triángulo, el símbolo se antecede a los 3 tres vértices que componen al triángulo, por ejemplo: Algo que ocupará s, es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados En matemáticas cuando dos figuras tienen la misma forma y mismas medidas, se dice que son congruentes, es decir:

1. Dos segmentos de recta son congruentes si tienen la misma medida.
2. Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida o amplitud.

En consecuencia: Dos triángulos son congruentes si las medidas de sus lados y ángulos son iguales. Este par de triángulos son congruentes y se utiliza un símbolo formado por un signo igual y una tilde. Este símbolo sirve para representar la congruencia, aquí se observa que ambos triángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño, aunque su posición sea diferente. Ambos son congruentes. Observa cómo se utiliza la nomenclatura para escribir que esos triángulos son congruentes: Triángulo ABC es congruente con el Triángulo DEF. ¿Podr ás determinar si 2 triángulos son congruentes, sin medir sus lados o ángulos y sin sobreponer uno con otro? Sí es posible con los criterios de congruencia, pues estos sirven para establecer que dos triángulos son congruentes con un mínimo de condiciones Estos criterios de congruencia son 3: ALA, Ángulo-Lado-Ángulo LAL, Lado-Ángulo-Lado LLL, Lado-Lado-Lado ¿Qué significan estos criterios de congruencia? Observa el criterio Ángulo-Lado-Ángulo, ALA,

1. Video ALA (del minuto 05:13 al minuto 06:46) https://youtu.be/UYyuQ5JSemg Ahora observa el Criterio Lado-Ángulo-Lado, LAL.
2. Video LAL (del minuto 07:04 al minuto 08:36) https://youtu.be/UYyuQ5JSemg Ahora el Criterio, Lado-Lado-Lado, LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados correspondientes iguales. Observa los lados de ambos triángulos, los lados correspondientes iguales están mar cados con el mismo color. En esta imagen puedes observar que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF, porque: AB es congruente con DE BC es congruente con EF AB es congruente con DE Por lo tanto, al tener 3 lados correspondientes iguales, ambos triángulos son congruentes por el criterio LLL Observa un ejemplo. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes por el criterio LLL? Obsérvalos: ¿Serán los triángulos 1 y 2? ¿O serán el 1 y 3? ¿O el 2 y 3? Observa las medidas de los lados y recuerda que para que dos triángulos sean congruentes por LLL, deben tener sus 3 lados homólogos correspondientes iguales. La pareja de triángulos congruentes son el triángulo 1 y 2. ¿Por qué el triángul o 3 no es congruente con 1 o 2? Es porque, aunque tengan la misma forma, las medidas de sus lados correspondientes, no son iguales.
3. Video Criterios

(del minuto 10:43 al minuto 11:32) https://youtu.be/UYyuQ5JSemg Continua con el concepto de semejanza. Para las matemáticas ¿Qué es semejanza? Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente las mismas dimensiones. Se puede decir que una figura está dibujada a escala de la otra.

Otra pregunta es: ¿Cuál es la diferencia entre congruencia y semejanza? Congruencia se le llama a la propiedad que tienen dos figuras de ser exactamente iguales. Sus ángulos y lados correspondientes tienen la misma medida. Semejanza es la propiedad que tienen dos figuras de ser proporcionales con sus correspondientes lados.

Tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. ¿Podrás determinar si dos triángulos son semejantes sin tener todas las medidas de sus ángulos y lados? Sí es posible con los cri terios de semejanza, pues estos sirven para establecer que dos triángulos son semejantes con un mínimo de condiciones

• Si tienen todos los lados proporcionales, LLL
• Si tienen dos ángulos iguales respectivamente, AA
• Si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, LAL

Analiza el criterio de semejanza de triángulos Lado-Lado-Lado, LLL El criterio LLL especifica que: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes proporcionales. Revisa un ejemplo. Calcula las razones: Segmento DE sobre segmento AB es igual a segmento EF sobre el segmento BC que a su vez es igual al segmento DF sobre el segmento AC. Esto es, 6 entre 4 es igual a 4,5 entre 3 que a su vez es igual a 9 entre 6, cada una de estas razones es igual a 1.5.

Entonces, el Triángulo ABC es semejante al Triangulo A’B’C’ A la razón que se encuentra se le llama razón de semejanza. Criterio Lado-Ángulo-Lado, LAL. Este criterio dice que si dos triángulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, estos triángulos son semejantes.

Analiza el ejemplo: Se tienen dos triángulos, cuyos lados correspondientes son proporcionales entre sí y el ángulo entre ellos es recto, es de 90 grados. Calcula las razones, 6 entre 3 es igual a 4 entre 2 que da como resultado 2. Como las razones son iguales, el resultado es una razón de proporcionalidad de valor 2. Se puede decir que el triángulo DEF es el doble de tamaño con respecto al triángulo ABC, o está a escala 2 a uno. Este es el criterio más inmediato, si todo lo que se tiene son las medidas de dos de sus ángulos, ya se tiene que los triángulos son semejantes. Lo que no se tiene aquí es la razón de proporcionalidad. Observa el siguiente video en donde podrás conocer algunas aplicaciones de la semejanza de triángulos. Del minuto 16:33 al 19:14 y del 19:15 al 21:49

Aplicaciones de la semejanza de triángulo

https://www.youtube.com/watch?v=IaMi9jJfXMg&t=48s En el primer ejemplo, ¿te diste cuenta cuál es la relación existente entre los elementos que se describieron en el problema y los que se mencionaron en los triángulos semejantes anteriores? En el segundo ejemplo se encontró cuánto mide la Tierra.

• Con un lado, ALA
• Con dos lados, LAL
• Con tres lados, LLL

Si dos triángulos son congruentes ¿Cómo es su perímetro? Si son congruentes sus lados son iguales y al sumarlos para obtener el perímetro su resultado será igual. ¿Por qué AAA no es criterio de congruencia? Dos triángulos pueden tener sus ángulos iguales, pero tener sus lados de distinta medida.

Por ejemplo, los triángulos equiláteros, todos tienen ángulos de 60 grados, pero distintas medidas en sus lados. ¿Se puede comprobar la congruencia de dos triángulos con AAL, Ángulo-Ángulo-Lado? Se ocupa el método deductivo, si dos triángulos tienen dos ángulos iguales el tercer ángulo tendrá que ser igual ya que la suma de ángulos internos de todo triángulo siempre es 180 grados.

Entonces los triángulos tienen un lado igual. Utilizando el criterio ALA los triángulos serán congruentes. ¿Cómo son los lados y ángulos de dos triángulos semejantes? Los ángulos son iguales, pero los lados correspondientes son proporcionales con una misma razón de proporcionalidad.

1. Aprendiste dos ejemplos para calcular distancias sin medirlas directamente y,
2. Al estudiar los triángulos, puedes llevar estos resultados al estudio de los polígonos, ya que se puede dividir cualquier polígono en triángulos.

Explora tu libro de texto para profundizar lo que estudias. ¡Buen trabajo! Gracias por tu esfuerzo,

¿Qué nos dice el teorema de Tales?

1.1. Teorema de Thales

• Como puedes ver en la figura, hemos troceado el triángulo OCC’ de forma que la base la hemos dividido en tres partes iguales de 2m cada una.
• Trazando las verticales por cada una de las divisiones obtenemos los puntos A’, B’ y C’ que determinan tres segmentos de igual longitud (2,5 m).
• Por tanto podemos observar que se cumple una proporción entre la longitud de los distintos segmentos que podemos formar en el lado OC’ del triángulo y sus correspondientes al lado OC, tal y como puedes comprobarlo en las proporciones que se indican a la derecha de la figura.

Triángulo troceado. Imagen de en Flickr Licencia Creative Commons by-nc-sa.

Pues bien, esta propiedad de proporcionalidad se puede generalizar y es lo que constituye el teorema de Thales, Teorema de Thales: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.

Teorema de Thale s. Imagen de en Flickr Licencia Creative Commons by-nc-sa

Este teorema nos permite calcular, por tanto, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos. Anota en tu cuaderno el enunciado del teorema de Thales y el dibujo que hemos incluido. Tarea

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Utilizamos la regla

Traza dos rectas r y r’ cualesquiera (que no sean paralelas) y realiza las siguientes actividades:

Traza tres puntos A, B y C sobre la recta r y que estén separados 2 cm A y B, y 3 cm B y C,

Traza tres rectas paralelas entre sí por los puntos A, B y C, y determina los puntos de corte correspondientes en la recta r’, A’, B’ y C’,

Mide cuidadosamente los distintos segmentos que se forman y comprueba que se cumple el teorema de Thales,

Si trazaras un segmento de 6 cm en la recta r y trazaras dos paralelas por sus extremos a las anteriores ¿cuánto mediría el segmento que se formaría en la recta r’ ?

Realiza un informe con los resultados que has obtenido y comenta los resultados con tus compañeros.

Ten en cuenta que debes medir con la mayor precisión posible, ya que en caso contrario las proporciones se diferenciarán significativamente unas de otras y parecerá que no se cumple el teorema. Como consecuencia del teorema de Thales, la proporción entre dos de los segmentos obtenidos por las rectas paralelas en una de las rectas es la misma que sus correspondientes a las intersecciones en la otra.

• Mueve los círculos de las rectas AB y A’B’, Comprueba como se mantiene la igualdad de las proporciones.
• Mueve los círculos de las rectas AA’, BB ‘ y CC’, Comprueba cómo se mantiene la igualdad de las proporciones.

Teorema de Thales. Animación de en ITE Licencia Cr eative Commons by-nc-sa

Comprueba lo aprendido En la imagen se muestra una pared en la que hemos trazado rectas perpendiculares a su base indicado la distancia entre ellas. En la parte superior hemos colocado los puntos A, B y C,

Pared-Thales. Imagen de en Flickr Licencia Creative Commons by-nc-sa

Indica la opción correcta para las siguientes cuestiones: ¿Qué distancia hay entre los puntos A y B ? Aplica el teorema de Thales Incorrecto. Repasa los cálculos. Incorrecto. Repasa los cálculos. Correcto. Aplicando el teorema de Thales tenemos que ¿Qué distancia hay entre los puntos B y C ? Aplica el teorema de Thales. Incorrecto. Repasa los cálculos. Correcto. Aplicando el teorema de Thales tenemos que Incorrecto. Repasa los cálculos. ¿Qué distancia hay entre los puntos A y C? Aplica el teorema de Thales y comprueba que el resultado es la suma de las soluciones de los apartados anteriores.

¿Que figura tiene todos sus ángulos congruentes?

Un cuadrado es una de las figuras geométricas básicas. Es un caso especial de un paralelogramo que tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos congruentes.

¿Cuáles son los criterios de congruencia de triángulos?

¿Por qué lado-lado-ángulo no es un criterio de congruencia de triángulos? – Cuando dos pares de lados correspondientes y un par de ángulos correspondientes (no entre los lados) son congruentes, los triángulos pueden ser congruentes, pero no siempre. Con este criterio generalmente no hay suficiente información cuando los ángulos correspondientes son opuestos al menor de los dos lados conocidos en el triángulo.

¿Que no son congruentes?

Las figuras similares no son congruentes. Estos dos triángulos son similares. Tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.

¿Cuando un segmento de recta o un ángulo es congruente?

Una de las palabras más importantes en geometría es congruente. En geometría, este término se refiere a aquellos objetos que tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Dos segmentos serán congruentes si ambos tienen la misma longitud.

¿Qué es y para qué sirve la congruencia?

diciembre 3, 2013 @ 7:00 am 2013-12-03T07:00:30-0600 2013-12-02T17:41:40-0600 La congruencia implica dar testimonio público de lo que se es, se piensa y se cree, pero en ocasiones el proceso de comunicación no corresponde a la realidad que se vive dentro de una empresa. Los diccionarios definen a la congruencia como “la relación lógica y coherente que se establece entre dos o más cosas”.

Es sinónimo de “Coherencia”, “sensatez” y “Lógica” y entre sus antónimos figuran: “incompatibilidad”, “incongruencia”, “inconsistencia”, “discordancia”, entre otros. En términos de comunicación podría decirse que la congruencia es la armonía entre el pensar, el decir y el hacer, de manera responsable y consciente.

Lograr congruencia no es sencillo en un mundo en el que se compite por ser el mejor, el primero, el líder. En afán de llegar a ser reconocida por lo que no es, una institución puede inclusive violentar la filosofía de trabajo para reconfigurar una realidad y comunicar hacia el exterior una imagen que nada tiene que ver con la verdadera forma de pensar y actuar.

• La congruencia implica dar testimonio público de lo que se es, se piensa y se cree, pero en ocasiones el proceso de comunicación no corresponde a la realidad que se vive dentro de dicha institución.
• Eso sucede incluso hasta en instituciones religiosas como la propia Iglesia, en la que en ocasiones sus integrantes jerárquicos no logran hacer vida a la exhortación que se les hace al momento de su ordenación: “Esmérate en creer lo que lees, enseñar lo que crees y vivir lo que enseñas”.

Lo anterior viene a cuento porque la semana pasada asistí a la presentación del libro 100 autores en 500 palabras, editado con motivo del cuadragésimo aniversario de la Asociación Mexicana de Comunicadores, en el que encontré varios textos que manifiestan inquietud porque las empresas –y aún las entidades públicas- sean congruentes entre lo que comunican y la forma en la que actúan, tanto hacia el interior como al exterior de las mismas.

Una de las contribuciones de dicho libro que llamó mi atención fue la escrito por mi querido amigo Salvador Sánchez, introducido por una frase del periodista polaco Ryszard Kapuściński ( 4 de marzo de 1932 — 23 de enero de 2007 ): “Cuando se descubrió que la información era un negocio, la verdad dejó de ser importante”.

Salvador, con la experimentada visión del comunicador dentro de las organizaciones, pone de relieve una verdad que por lo regular se soslaya: “Hay mucho dinero y poder de por medio. Por eso cada día ganan espacios los intereses que ‘hacen aliados’ a los periodistas, que convierten la ayuda al necesitado, la transformación de la sociedad y el cuidado del ambiente, en moneda de cambio, que pasan por encima de la verdad y reconfiguran la realidad para tapar abusos, ocultar crisis defender lo indefendible, crear y destruir reputaciones, debilitar voluntades.” Reconfigurar la realidad con fines generalmente mercantilistas y utilitarios es no ser congruentes con los valores que muchas instituciones públicas y privadas dicen vivir como parte de su filosofía.

Instituciones que se proclaman como “socialmente responsables”, pero que en muchos casos limitan esa responsabilidad sólo a sus públicos externos por ser los que generan negocio y utilidades, sin preocuparse mayormente por aspectos como la dignidad humana, la equidad de género o las condiciones de trabajo de sus empleados, por sólo citar tres variables.

Recuerdo el caso que expusieron las redes sociales, del empresario que golpeó a un valet parking ; las preguntas que quedaron en el aire fueron: ¿así tratará a sus empleados? ¿Estarán temerosos de denunciar actos de violencia en su contra? ¿Habrá golpeado inclusive a alguna mujer? Luis Rey Delgado, otro de los participantes en el citado libro, lo expone de la siguiente manera: “No necesitamos profundizar mucho para descubrir hipocresía institucional o corporativa, resultado de una desconexión entre declaraciones y comportamientos o de fingir cualidades o creencias que no se poseen, muchas veces no de personas malintencionadas o que actúan para su propio beneficio, sino que es más cómodo hablar de valores, visiones e ideales, que llevarlos a la práctica.

1. Organizaciones que públicamente expresan una cosa, pero a ‘puerta cerrada’ hacen otra.
2. Empresas ‘reconocidas’ por ser ‘el mejor lugar para trabajar’ pero donde existe un desequilibrio práctico familia-trabajo” En tono similar se expresa en el libro de referencia Raúl Camou, empresario en el campo de la publicidad: “Hoy más que nunca, las organizaciones corporativas, sociales y los gobiernos, igual que las personas que los conforman, deben ser congruentes en el decir y el hacer, porque si fue una práctica común hacer comunicación para generar percepciones positivas hacia el exterior sin importar que internamente las cosas no fueran como pintaban no hay forma infalible de evitar que se fugue la información y se difunda lo que realmente está pasando en las organizaciones.” Muchas veces las instituciones olvidan que su personal no es sólo un trabajador que cumple con una labor; es también un vocero potencial de todo lo que sucede, más que lo que se dice, dentro de su ámbito laboral.

Es el primero en detectar la no congruencia entre lo que escucha o le dicen sus superiores y la verdadera forma de actuar de los mismos. Seguramente muchos hemos conocido, vivido o al menos escuchado historias de empresarios y funcionarios públicos que ven la paja en el ojo ajeno, pero no la viga en el propio.

• Un colaborador de un importante noticiario radiofónico me contó hace algunos años que su jefe, quien invariablemente apuntaba con dedo de fuego a quienes cometían injusticias con sus empleados, no se preocupaba por las que se cometían con sus propios colaboradores.
• Seguramente también habremos sabido de instituciones que aseveran manejarse con criterios éticos y actúan en sentido opuesto a sus valores manifiestos.

Otro texto del libro en cuestión manifiesta su inquietud por los efectos que la incongruencia puede tener sobre los públicos receptores de la comunicación. Seguramente avalado por su larga experiencia en el periodismo, Jorge Camargo, otro buen amigo, comunicólogo y experimentador de nuevas formas de construir la comunicación institucional, expresa: “Si existe un elemento sobre el cual debe tenerse, yo diría, un obsesivo cuidado, es el riesgo de caer en contradicción.

• Los mensajes deben ser congruentes con la esencia de lo comunicable.
• Si nuestras acciones son contradictorias con los ejes rectores del plan de comunicación, con la reputación de nuestra institución y con la imagen real o proyectada de quienes la lideran, entonces estaremos generando un efecto indeseable que producirá un rechazo instantáneo por parte de los públicos”.

En fin, es bueno saber que existe preocupación entre algunos expertos porque las instituciones sean congruentes entre lo que comunican y la forma en que actúan. La congruencia es la armonía que debe existir entre el pensamiento, la creencia y la acción; esta última es el reflejo de las dos primeras.

Es de esperar que los directivos de las instituciones públicas y privadas en cualquier sector en el que se desempeñen, incluido el de los medios de comunicación, se asuman como responsables de la congruencia entre la filosofía y valores de sus organizaciones y su actuar público. Estoy convencido de que la práctica de la congruencia implica la disposición de hacerse responsable de la vivencia coherente de los valores que rigen la vida de cada institución y de cada persona.

Contacto: Correo: Twitter: @mmaraboto BLOG: http://corpmedios.blogspot.mx/ *Las opiniones expresadas son sólo responsabilidad de sus autores y son completamente independientes de la postura y la línea editorial de Forbes México.

¿Cuál es la definición de congruencia?

Significado de Congruencia La congruencia es la conveniencia, coherencia o relación lógica que se establece entre distintas cosas, La palabra, como tal, proviene del latín congruentia, La congruencia puede observarse en la relación de coherencia que hay entre las acciones de una persona y aquello que predica.

• Hay congruencia, por ejemplo, entre alguien que dice que es importante querer y respetar a los mayores y en efecto trata bien a sus padres y abuelos.
• Sinónimos de congruencia son conveniencia, coherencia, lógica, correspondencia, concordancia o consonancia.
• Antónimos son, en cambio, incongruencia, disconformidad o incoherencia.

En inglés, congruencia se traduce congruence, Por ejemplo: ” In congruence with our commitment to produce as many products as possible here in the United States, Hygieia technology has been developed and manufactured here in the Homeland ” (en congruencia con nuestro compromiso de producir tantos productos como sea posible aquí en los Estados Unidos, la tecnología Hygieia ha sido desarrollada y fabricada aquí en la patria).

¿Que se requiere para que dos figuras sean congruentes?

Concepto – Dos o más figuras son congruentes si se cumple que son equivalentes tanto en forma como en tamaño, es decir si sus lados y sus ángulos respectivos tienen la correspondiencia en la medida, aunque su posición y orientación sean distintas. El símbolo de congruencia es ( ≅ ). Las partes coincidentes de las figuras congruentes ​ se llaman homólogas o correspondientes. Figuras congruentes relacionadas mediante traslación. Figuras congruentes relacionadas mediante reflexión y rotación. En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación, ​ es decir, si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación o reflexión,

¿Qué se necesita para que dos figuras sean congruentes?

Dos figuras son congruentes si tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Otra forma de decir esto es que si las dos figuras pueden ser perfectamente alineadas cuando una se pone sobre la otra son congruentes.

¿Qué son figuras congruentes y no congruentes?

Las formas congruentes son del mismo tamaño y forma. Transformaciones rígidas, como las traslaciones, mantienen las formas congruentes, pero las dilaciones no son transformaciones rígidas porque cambian el tamaño.

¿Cuál es el criterio de congruencia?

Aprendizaje esperado: a naliza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina y usa criterios de congruencia de triángulos. Énfasis: a plicar los criterios de congruencia para identificar triángulos congruentes.

¿Qué vamos a aprender? En esta sesión revisarás la aplicación de los criterios de congruencia para la resolución de problemas, un contenido importante dentro del campo de la geometría, ya que sienta las bases de temas aún más complejos que revisarás en Trigonometría o la Geometría Analítica, las cuáles son ramas de las Matemáticas que revisarás más adelante en otro grado e, incluso, en otro nivel escolar.

La congruencia de triángulos es un axioma; es decir, una idea clara y precisa que no requiere discutirse o demostrarse que, además, te brinda la oportunidad de conocer detalles de los triángulos que te ayudan a comprender otras propiedades de figuras, como los cuadriláteros.

• Los criterios de congruencia son sumamente importantes, ya que te ayudan a elaborar demostraciones dentro de la misma Geometría.
• Se te recomienda que para el desempeño de tus actividades tengas a la mano tu cuaderno u hojas reutilizables, lápiz, goma, sacapuntas, regla y colores que puedes utilizar para señalar e incluso identificar lo que consideres más importante durante el desarrollo de esta lección.

Así como tu libro de texto de la asignatura. En caso de tener una discapacidad visual, prepara hojas leyer, un punzón y una regleta. ¿Qué hacemos? Seguramente te preguntarás si los criterios de congruencia son elementos fundamentales para conocer cuando dos figuras tienen las mismas medidas. Dicho símbolo es el que se va a utilizar para representar la congruencia que se pueda establecer entre dos triángulos. Pero, ¿qué relación geométrica respecto a sus lados y sus ángulos deben tener dos triángulos para que sean congruentes? Para que dos triángulos sean congruentes entre sí, sus lados y ángulos correspondientes deben ser iguales en longitud y medida.

1. Criterios Congruencia. https://youtu.be/ZROeniS93tA Durante los problemas o ejercicios que se presenten en esta sesión, es importante tener en consideración los 3 criterios de congruencia, que son las condiciones mínimas que los triángulos deben cumplir para que sean congruentes entre sí. Estos criterios son:
   • Criterio LLL. Un triángulo es congruente con otro, si los tres lados de uno de ellos y los lados correspondientes del otro, tienen la misma longitud.
   • Criterio LAL. Un triángulo es congruente con otro, si dos lados y el ángulo entre ellos, miden lo mismo que los lados y el ángulo entre ellos, del otro triángulo.
   • Criterio ALA. Un triángulo es congruente con otro, si un lado y los dos ángulos que se forman en sus extremos, miden lo mismo que un lado y los dos ángulos que se forman con ese lado, en el otro triángulo.

   Conocer este tema resulta de mucha utilidad en diferentes labores cotidianas del ser humano; por ejemplo, en la construcción, en la carpintería o herrería; también en el desarrollo del pensamiento geométrico, ya que los criterios de congruencia son de gran utilidad al momento de hacer demostraciones geométricas; y eso lo verificarás a continuación. Después de mucho observar, André le asignó a Leonardo su primer trabajo que consistía en diseñar un marco cuadrangular para una ventana. Leonardo fue a la casa de la persona que pidió el marco, a tomar las medidas y encontró los siguientes datos: La ventana media de largo 40 cm y de ancho 40 cm. Una vez, tomadas dichas medidas regresó al taller y le comentó a su tío lo que iba a hacer. Él sabía que debía diseñar una ventana sin un mecanismo de apertura, por lo que iba a cortar 4 tramos de perfil con medida de 40cm, cada perfil lo cortaría a un ángulo de 45° para que, al ensamblar el marco, quedara un cuadrado de 40 cm por lado. El tío se quedó pensando y le preguntó a Leonardo: ¿qué si usó el nivel o midió las diagonales? Leonardo le dijo que no, así que su tío le pidió que regresara a tomar esos datos. ¿Por qué crees que el tío André le haya pedido estos datos extra? ¿Qué hubiera sucedido si Leonardo hubiera hecho la ventana, de la forma como la describió? Observa el siguiente ejemplo en la aplicación de geometría dinámica, a través del siguiente video.

2. Cuadriláteros 40 cm. https://youtu.be/7IVQ2Gun7N8 Como viste en el video, del lado izquierdo, se tiene un polígono con cuatro lados que miden 40 cm y, del lado derecho, se encuentra el cuadrado que pensaba diseñar Leonardo. Si te das cuenta, el polígono de la izquierda sólo tiene una posición donde coincide con el cuadrado de Leonardo. Las medidas de los ángulos se van modificando; esto, con el objetivo de verificar si su diseño es el adecuado para cumplir las expectativas de fabricación necesarias. Ahora ya sabes que necesita un dato más para que pueda hacer el marco correctamente. Al solicitarle el tío André que pasará el nivel, seguramente se hubiera percatado que la ventana no era cuadrada y, tal vez, tendría que tomar la medida de una diagonal. Si trazas la diagonal puedes verificar que se forman dos triángulos opuestos entre sí, pero que comparten características específicas. Hay que nombrar a los vértices del cuadrilátero. Se comenzará con el vértice del lado superior derecho, que será el vértice “A”. Después se sigue nombrando en sentido opuesto al giro de las manecillas del reloj; entonces, el vértice superior izquierdo será “B”, después el inferior izquierdo será “C” y, por último, el inferior derecho será “D”. También hay que trazar la diagonal. Ahora, se comprobará que, al medir una sola diagonal, Leonardo podrá replicar el marco de la ventana. Primero, tendrá que medir y cortar el lado idéntico al lado BA; así, él trazará el lado FE; después, replicará la medida del lado BC y tendrá el lado FG. Se finaliza con la medida de la diagonal AC, que él trazará y tendrá que ajustar para EG; ya que, con estos datos, se puede afirmar que el triángulo ABC es congruente al triángulo EFG por la razón lado, lado, lado; ya que sus lados correspondientes son iguales. Con la medida de una sola diagonal, Leonardo pudo haber construido el marco de la ventana sin dificultad. ¿Te percataste de un símbolo formado por tres puntos ubicado en la parte final del ejercicio? Su significado es “por lo tanto” y es una forma que utilizaban los geómetras para comunicar que habían llegado a la deducción de un concepto por medio del análisis de algunas evidencias o razones; así se concluye que las 3 medidas son iguales en ambos triángulos. Esta afirmación se puede establecer mediante el criterio de congruencia, referente a los tres lados correspondientes de los dos triángulos; dicho criterio, se aplica cuando se conocen las longitudes de los tres lados en los dos triángulos, como en este caso, y se conoce como: criterio lado-lado-lado y se representa como criterio LLL; esto es, escribiendo tres letras “ele” mayúsculas juntas. Ahora, hay que revisar el siguiente planteamiento que tiene mucho que ver con la congruencia. No pierdas detalle, ya que se te realizarán algunas preguntas que deberás responder. El mes pasado, David llevó su automóvil al servicio de llantas. Al momento de cambiarlas, el mecánico le comentó que debería hacerle una alienación. Derivado de esta cuestión le preguntó: ¿Cómo podía saber si las llantas de su automóvil necesitan alineación o si ya están correctamente alineadas? Revisa el siguiente video, para que puedas ver la ejemplificación.
3. Alineación llantas en un coche, https://youtu.be/hYz69jdzns8 Para ello, se debe tomar en cuenta que las llantas deben tener la misma alineación, es decir, las llantas del eje delantero deben tener la misma posición angular respecto a las del eje trasero; al tener cuatro llantas; esto se puede representar por medio de un rectángulo, cuyos vértices se nombrarán con las letras ABCD, para después, trazar una diagonal partiendo del vértice A al lado opuesto con el vértice C. Si te das cuenta y pones atención, puedes ver que se forma una pareja de triángulos; ¿qué datos puedes observar en ellos? En este caso, en cada uno de los triángulos se pueden revisar las medidas de las longitudes de dos de sus lados y la medida de uno de sus ángulos.
   • Hay que comparar estas medidas para determinar si son congruentes entre sí.
   • Así, se empezará con la medida de la longitud del lado AD del triángulo ACD, que mide 1.70 m.
   • En el triángulo ABC, ¿cuál es el lado que tiene la misma longitud? El lado que le corresponde es el lado BC, porque tiene la misma longitud; es decir, 1.70 m.

   Entonces, se puede establecer que el lado AD es igual al lado BC. Ahora, se comparará la longitud del lado AB que mide 1.45 m. ¿Cuál es el lado que le corresponde en el triángulo ABC? El lado que le corresponde es el lado CD, porque tiene la misma longitud: 1.45 m. Entonces, también se puede afirmar que el lado AB es igual al lado CD. Hasta el momento, has comparado las medidas que corresponden a las longitudes de los lados en los dos triángulos, pero aún te falta comparar una medida más. Observa que, en cada triángulo, hay un ángulo con su respectiva medida, ¿puedes identificar qué lados forman dichos ángulos? En el caso del triángulo ACD, los lados que forman el ángulo son los lados AD y CD. En el caso del triángulo ABC, los lados que forman el ángulo son el lado AB y el lado BC; ambos ángulos miden 90.05 grados.

   • Al tener la misma medida, se puede concluir que los dos ángulos correspondientes son iguales; es decir, el ángulo “b” es igual al ángulo “a”.
   • De acuerdo con el análisis que se acaba de hacer, en donde la longitud de los lados correspondientes, en este caso AD y BC, así como AB y CD y la medida de los ángulos B y C, son iguales entre sí.

   Se puede afirmar entonces, que los triángulos ACD y ABC son congruentes entre sí. Así, se logra establecer un segundo criterio llamado Lado-Ángulo-Lado, para determinar la congruencia entre dos triángulos. Este criterio se representa como LAL; esto es, escribiendo las letras mayúsculas “ele-a-ele”. Considerando lo anterior, si se toman las medidas del automóvil de David y son iguales, las llantas están alineadas. Hasta el momento, has verificado dos criterios para determinar la congruencia entre dos triángulos: el criterio LLL, que se aplica cuando se conocen las longitudes de los tres lados; y el criterio LAL, que se aplica cuando se conocen las longitudes de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

   En ambos criterios, se ha logrado identificar las condiciones mínimas para determinar la congruencia entre dos triángulos. Pero, ¿qué llegaría a pasar cuando se conocen las medidas de dos de sus ángulos y el lado común entre ellos? Para responder la pregunta, revisa el siguiente problema: Susana se dedica al diseño y elaboración de mosaicos, uno de sus clientes le solicitó diseñar un mosaico que estuviera conformado por dos triángulos ubicados en distinta posición.

   La petición específica del cliente era que ambos tuvieran la misma medida de un lado y en dos de sus ángulos; dicho diseño quedaría de la siguiente forma: ¿Qué datos se pueden obtener? En este caso, en cada uno de los triángulos se puede medir la amplitud de dos ángulos y la longitud de un lado común entre ellos. Hay que comparar estas medidas para determinar si son congruentes entre sí. Para ello, se deben de extraer los dos triángulos, los cuales se nombrarán para describirlos adecuadamente: En el triángulo BCD, la medida del ángulo CBD es igual a 68 grados, ¿qué ángulo corresponde a esta medida en el triángulo EFG? El ángulo correspondiente en el otro triángulo, es el ángulo GEF, puesto que tiene la misma medida. En lo que se refiere al ángulo BDC, su medida es de 35.4 grados; entonces, el ángulo correspondiente en el otro triángulo es el EFG, por tener la misma medida. De acuerdo a los triángulos observados, ¿qué medida falta comparar? La medida que falta comparar es la longitud del lado BD en el triángulo BCD, siendo ésta de 9.09 cm y su lado correspondiente en el triángulo EFG es el lado EF, porque mide lo mismo. Con el análisis que se acaba de realizar, en donde los ángulos CBD y BDC y sus correspondientes GEF y EFG, respectivamente, son iguales. Asimismo, la medida de la longitud de los lados BD y su correspondiente lado EF, también son iguales. Se puede establecer un tercer criterio llamado Ángulo-Lado-Ángulo, para determinar que los triángulos BCD y EFG son congruentes. Durante el desarrollo de la sesión se ha trabajado con los tres casos de congruencia existentes LLL, LAL y ALA; pero, hace unos días y durante las clases en línea en esta época de contingencia, un compañero tuyo llamado Iván consultó por medios virtuales y realizó las siguientes preguntas: Iván: He estado revisando el tema de congruencia y puedo reconocer que existen tres criterios; pero me surge una primera pregunta: ¿Se puede establecer un criterio de congruencia relacionado exclusivamente con las medidas de los tres ángulos de un triángulo? Para contestar esta pregunta, se va emplear un recurso que ha estado apoyando este tema, para visualizar y explicar los criterios de congruencia entre dos triángulos; esto a través de un programa de geometría dinámica, con el cual se construye cada pareja de triángulos, con el objeto de verificar todos los criterios de congruencia, mediante el desplazamiento de uno de sus vértices; y así, poder dar respuesta al cuestionamiento hecho por Iván. Para ello revisa el siguiente video.

4. Triángulos Sobrepuestos. https://youtu.be/sC3HJjmLrTI Cómo pudiste ver en el video, se pueden tener dos triángulos con la misma medida en sus ángulos correspondientes, pero las longitudes de sus lados son diferentes; esto se debe a que se pueden tener dos triángulos iguales en forma, pero no en medida. Por lo tanto, la respuesta es que: no es posible establecer un criterio de congruencia relacionado exclusivamente con las medidas de los tres ángulos de un triángulo. La siguiente pregunta es: Iván: El tema de criterios de congruencia, ¿se seguirá revisando en otros grados escolares? Es interesante esta pregunta, y la respuesta es que sí va a tener utilidad en el proceso educativo en los siguientes años de secundaria. La gran cantidad de contenidos temáticos que se abordan en matemáticas es acumulativo; es decir, que cada conocimiento es una herramienta para que posteriormente tengas la base para contenidos diferentes. Y la congruencia de triángulos no es la excepción. Verifica que, dentro de la geometría, hay un contenido llamado teselado. Los teselados se crean usando figuras geométricas que, al acomodarlas una tras otra, logran cubrir un plano sin dejar espacio alguno. Y sólo hay algunas figuras geométricas que logran hacer una teselación. Éste es el caso de los triángulos, cuadriláteros y el hexágono. Revisa la siguiente muestra de teselados con la aplicación de geometría dinámica, en el siguiente video.
5. Teselado triángulo, cuadrado y hexágono.

https://youtu.be/u4IRzCRYkEA Como observaste, el triángulo logra recubrir el plano, como si fuera un mosaico. Si tú lo realizas en casa vas a ir aumentando el tamaño poco a poco; después lo harás con el cuadrado; y esto también sucede si haces lo mismo con el hexágono.

• Recuerda que esto hace referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie que cumple con dos requisitos: Que no queden espacios y que no se superpongan las figuras.
• Pero no cualquier conjunto de triángulos se puede utilizar, ya que tienes que asegurarte que los triángulos sean congruentes para que puedan recubrir el plano.

Revisa la siguiente imagen con un ejemplo de triángulos que son congruentes y otro con triángulos que no son congruentes entre sí. Como puedes darte cuenta, los triángulos de la izquierda son congruentes entre sí, porque recubren el plano en su totalidad; sin embargo, los triángulos de la derecha no son congruentes, ya que al tratar de empalmarlos quedan espacios. Al tomar las medidas, se puede observar que los dos triángulos, aunque son parecidos, tienen medidas diferentes.

• Es importante la aportación y aclaración que se está haciendo con respecto a la información anterior.
• Haciendo referencia a este tema, los teselados fueron empleados por antiguas civilizaciones, ya que los requerían para la construcción de sus casas y templos cerca del año 4.000 A.C.
• Por ese tiempo, los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos.

El material usado era arcilla cocida que coloreaban y cuidadosamente esmaltaban. La palabra teselado proviene de la raíz griega tessellae que significa regularidad o patrón. Así llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad. Este tema y otros más, los abordarás el siguiente año; recuerda que, en Matemáticas, los conocimientos se van construyendo para beneficiar tu aprendizaje. Durante esta sesión, se ha estado utilizando un programa de geometría dinámica de uso gratuito en internet, para poner en práctica la construcción de los triángulos que se han realizado, con el objetivo de verificar la congruencia en triángulos. En la imagen anterior, puedes observar unas cucharas medidoras que son iguales en forma, pero no en tamaño. En el desarrollo de esta lección se demostró que, para determinar que dos objetos son congruentes entre sí, deben ser iguales tanto en forma como en medidas.

1. De modo que, si dos objetos son iguales en forma, pero no comparten las mismas medidas, estos no son congruentes; entonces, se dice que son semejantes entre sí.
2. Aquí, se habla de otra definición que estudiarás más adelante, se hace referencia al concepto de semejanza en las figuras, el cual se establece cuando éstas mantienen una proporción o escala en sus lados.

Recuerda que, si requieres apoyo o retroalimentación, puedes recurrir a tu profesora o profesor de esta asignatura. El r eto de h oy : Se te reta a buscar, conocer y manejar otros programas de geometría dinámica, en donde puedes dar un repaso de lo revisado en esta sesión y no olvides apoyarte en tu libro de texto.

¿Cómo saber si son semejantes los triángulos congruentes?

De acuerdo con nuestras transformaciones anteriores, podemos estar seguros que dos triángulos son semejantes si tienen 2 pares de ángulos correspondientes congruentes y 2 pares de lados correspondientes con razones iguales.

¿Cuál es la fórmula de Tales?

En todo triángulo rectángulo el producto de la hipotenusa por la altura es igual al producto de los dos catetos. Podemos expresarlo mediante la fórmula a·h = b·c y nos permitirá calcular la altura de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y sus catetos.

¿Cuándo se usa el teorema de Tales?

Este teorema permite calcular la longitud de un segmento si se conoce su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos.

¿Qué dice el teorema de Pitágoras?

En todo triángulo rectángulo se cumple que, la suma de los cuadrados de las longi- tudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa, es decir, si los lados del triángulo son a, b y c, se cumple que a2 + b2 = c2. Este resultado es conocido como el teorema de Pitágoras.

¿Qué son los criterios de congruencia y cuáles son?

Concepto – Dos o más figuras son congruentes si se cumple que son exactamente iguales tanto en forma como en tamaño, es decir si sus lados y sus ángulos respectivos tienen igual medida, aunque su posición y orientación sean distintas. El símbolo de congruencia es ( ≅ ). Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

¿Cuáles son los criterios de congruencia ejemplos?

Un triángulo es congruente con otro, si los tres lados de uno de ellos y los lados correspondientes del otro, tienen la misma longitud. Criterio LAL. Un triángulo es congruente con otro, si dos lados y el ángulo entre ellos, miden lo mismo que los lados y el ángulo entre ellos, del otro triángulo.

¿Cuántos criterios de congruencia hay?

Congruencia de Triángulos. Se expone el concepto de congruencia y los tres criterios para probar que dos triángulos son congruentes. En general, las figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distinta. El símbolo denota el criterio de congruencia entre dos elementos

¿Cuál es el criterio de LLL?

Caso LLL : Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales.