Como Sacar La Hipotenusa De Un Triangulo
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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¿Cómo calcular la hipotenusa de un triángulo de 3cm y 4cm?
Solución: Los catetos son a = 3cm y b = 4cm. Para calcular la hipotenusa, aplicamos el teorema de Pitágoras : Por tanto, la hipotenusa del triángulo mide 5cm.
¿Cuál es la hipotenusa de 12 y 16?
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 16 cm. La hipotenusa mide 20 cm.
¿Cómo se resuelve el teorema de Pitagoras ejemplos?
El Teorema de Pitágoras
- El teorema de Pitágoras
- Objetivos de aprendizaje
- · Usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo.
- · Resolver problemas de aplicación con el Teorema de Pitágoras.
Hace mucho tiempo, un matemático Griego llamado descubrió una propiedad interesante de los : la suma de los cuadrados de las longitudes de los es igual al cuadrado de la longitud de la del triángulo. A esta propiedad — que tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura — se le conoce como,
| El teorema de Pitágoras |
| Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Esta relación se representa con la fórmula: |
En el recuadro anterior, habrás notado la palabra “cuadrado,” así como los 2s arriba de las letras en Elevar al cuadrado un número significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, por ejemplo, elevar al cuadrado el número 5, multiplicas 5 • 5, y para elevar al cuadrado el número 12, multiplicas 12 • 12. Algunos números comunes elevados al cuadrado se muestran en la siguiente tabla.
| Número | Número multiplicado por sí mismo | Cuadrado |
| 1 | 1 2 = 1 • 1 | 1 |
| 2 | 2 2 = 2 • 2 | 4 |
| 3 | 3 2 = 3 • 3 | 9 |
| 4 | 4 2 = 4 • 4 | 16 |
| 5 | 5 2 = 5 • 5 | 25 |
| 10 | 10 2 = 10 • 10 | 100 |
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El teorema es válido para este triángulo rectángulo — la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es válido para todos los triángulos rectángulos. El Teorema de Pitágoras puede también representarse en términos de área. Observa que el Teorema de Pitágoras sólo funciona para triángulos rectángulos, Encontrando la longitud de la hipotenusa Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de los otros dos lados del triángulo, llamados catetos. Puesto de otra manera, si conoces las longitudes de a y b, puedes encontrar c, En el triángulo anterior, tenemos las medidas de los catetos a y b : 5 y 12, respectivamente. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la longitud de c, la hipotenusa.
| El Teorema de Pitágoras. | |
| Sustituir los valores conocidos para a y b. | |
| Evaluar. | |
| Simplificar. Para encontrar el valor de c, piensa sobre un número que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual a 169. ¿Funciona el 10? ¿O el 11? ¿12? ¿13? (Puedes usar una calculadora para multiplicar los números que no son familiares) | |
| 13 = c | La raíz cuadrada de 169 es 13 |
Usando la fórmula, puedes encontrar que la longitud de c, la hipotenusa, es 13. En este caso, no conocías el valor de c — tenías el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, y la tuviste que encontrar de ahí. Cuando se te da una ecuación como y se te pide el valor de c, a esto se le llama encontrar la raíz cuadrada de un número.
| Número x | Número y el cual, cuando se multiplica por sí mismo, es igual al número x | Raíz cuadrada y |
| 1 | 1 • 1 | 1 |
| 4 | 2 • 2 | 2 |
| 9 | 3 • 3 | 3 |
| 16 | 4 • 4 | 4 |
| 25 | 5 • 5 | 5 |
| 100 | 10 • 10 | 10 |
Es buen hábito familiarizarse con los cuadrados de los números del 0 al 10, porque son frecuentes en matemáticas. Si puedes recordar estos números — o si puedes usar una calculadora para encontrarlos — calcular las raíces cuadradas será cuestión de recordar.
A) Incorrecto. Este no es un triángulo rectángulo, por lo que no puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar r, La respuesta correcta es el Triángulo B. B) Correcto. Este es un triángulo rectángulo; cuando sumas los cuadrados de sus catetos, obtienes el cuadrado de su hipotenusa. C) Incorrecto. Este no es un triángulo rectángulo, por lo que no puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar r, La respuesta correcta es el Triángulo B. D) Incorrecto. Este no es un triángulo rectángulo, por lo que no puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar r, La respuesta correcta es el Triángulo B. |
Encontrando la longitud de un cateto Puedes usar la misma fórmula para encontrar la longitud del cateto de un triángulo si te proporcionan las medidas de la hipotenusa y del otro cateto. Considera el siguiente ejemplo.
| Ejemplo | ||
| Problema | Encuentra la longitud del lado a del triángulo siguiente. Usa una calculadora para estimar la raíz cuadrada para una posición decimal. | |
|
En este triángulo rectángulo, te proporcionan las medidas de la hipotenusa, c, y de un cateto, b, La hipotenusa está siempre opuesta al ángulo recto y siempre es el lado más largo del triángulo | |
| Para encontrar la longitud del cateto a, sustituye los valores conocidos en el Teorema de Pitágoras. | ||
| Resuelve a 2, Piensa: ¿Qué número, cuando se le suma 36, resulta en 49? | ||
| Usa una calculadora para encontrar la raíz cuadrada de 13. La calculadora te da la respuesta 3.6055, que se puede redondear a 3.6 (Como estás aproximando, utilizas el símbolo,) | ||
| Respuesta |
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- ¿Cuál de las siguientes operaciones utiliza correctamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante, x?
- A)
- B) x + 8 = 10
- C)
- D)
A) Incorrecto. En este triángulo, sabes que la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) tiene una longitud de 10. Las longitudes de los catetos son 8 y x, La respuesta correcta es, B) x + 8 = 10 Incorrecto. El Teorema de Pitágoras es una relación entre las longitudes de los catetos al cuadrado de un lado. La respuesta correcta es, C) Correcto. En este triángulo, la hipotenusa tiene una longitud de 10, y los catetos una longitud de 8 y x, Sustituyendo en el Teorema de Pitágoras tenemos: ; esta ecuación es la misma que, o, ¿Qué número, multiplicado por sí mismo, es igual a 36? Eso sería x = 6. D) Incorrecto. En este triángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a 10 (siempre el lado más largo y opuesto al ángulo rectángulo) no 8. La respuesta correcta es,
Usando el teorema para resolver problemas del mundo real El Teorema de Pitágoras es tal vez una de las fórmulas más usadas que verás en matemáticas porque hay muchas aplicaciones en el mundo real. Los arquitectos e ingenieros usan esta fórmula extensivamente cuando construyen edificios, puentes, y rampas. Observa los siguientes ejemplos.
| Ejemplo | ||
| Problema | Los dueños de una casa quieren convertir los escalones de la entrada en una rampa. El porche mide 3 pies por encima del suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a una distancia de 12 pies de la base del porche. ¿Qué tan larga será la rampa? Usa una calculadora para encontrar la raíz cuadrada, y redondea tu respuesta a la décima más cercana. | |
| Para resolver un problema como este, es buena idea dibujar un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del triángulo. | ||
|
Identifica los catetos y la hipotenusa del triángulo. Sabes que el triángulo es rectángulo porque el suelo y la porción del porche son perpendiculares — esto significa que puedes usar el Teorema de Pitágoras para res o ver el problema. Identifica a, b, y c, | |
| Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de c, | ||
| 12.4 = c | Usa una calculadora para encontrar c, La raíz cuadrada de 153 es 12.369, por lo que puedes redondear eso a 12.4. | |
| Respuesta | La rampa medirá 12.4 pies. |
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El Teorema de Pitágoras dice que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. El teorema se representa con la fórmula, Es decir, si conoces la longitud de dos de los lados de un triángulo rectángulo, puedes aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado.
¿Cómo encontrar hipotenusa y altura?
En todo triángulo rectángulo el producto de la hipotenusa por la altura es igual al producto de los dos catetos. Podemos expresarlo mediante la fórmula a·h = b·c y nos permitirá calcular la altura de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y sus catetos.
¿Cómo se calcula la hipotenusa de un cuadrado?
Teorema de Pitágoras – Es una fórmula, proveniente de la Geometría Euclidiana denominada así en honor al matemático griego Pitágoras, que establece una relación entre los 3 lados de un triángulo rectángulo. Es decir, conocidos dos de ellos es posible calcular el otro con esta ecuación. 
La definición formal del Teorema de Pitágoras establece que: El cuadrado de la hipotenusa h de un triángulo rectángulo cualquiera, es igual a la suma del primer cateto 1 al cuadrado más el segundo cateto 2 también al cuadrado. Escrito en lenguaje algebraico, esta relación quedaría como: ^ = ^ }_ + ^ }_ Donde _ y _ son los catetos del triángulo rectángulo. 
Si a cada uno de los lados del triángulo rectángulo lo asociamos con el lado de un cuadrado, la ecuación del Teorema de Pitágoras nos diría que: el área del cuadrado de lado h es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado _ y _, 
¿Cuál es la ley de los senos y cosenos?
Ley de cosenos – La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras y se aplica a todos los triángulos. Esta ley consiste en: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que se forma. Figura 8.17 Considerando el teorema de Pitágoras, afirmamos que: c 2 = h 2 + x 2 También que: a 2 = h 2 + (b− x ) 2 Desarrollando las operaciones, tendremos: a 2 = h 2 + b 2 − 2bx + x 2 Sustituyendo el valor de h 2, tendremos: 
Resumiendo lo anterior, la ley de cosenos es: Aunque también de estas expresiones podemos conocer los ángulos, si despejamos en cada una de ellas el ángulo deseado, quedan así: 
Es decir, que por la ley de cosenos también podemos obtener la longitud de los lados de un triángulo y la dimensión de los ángulos. Los únicos requisitos que tenemos para utilizar la ley de cosenos son: a) Conocer la magnitud de los tres lados (LLL). b) Conocer un ángulo y la longitud de los lados que lo forman (ALL). Ejemplos:
Calcular el lado (a) y los ángulos B y C que faltan del triángulo oblicuángulo ABC, de la figura 8.18.
Figura 8.18 Solución: 
Veamos otro ejemplo: Doña Martha tiene un terreno donde planea construir su casa y hacer una huerta en la parte trasera, pero no sabe qué superficie tiene el terreno, ni para la casa ni para la huerta, por lo que tenemos que ayudarla. El terreno es como la figura 8.19 que puedes ver a continuación, con las dimensiones que aparecen. ¿Cuánto tiene de superficie? Figura 8.19 Solución: 
¿Cómo se calcula la distancia de la hipotenusa?
Puntos alineados sobre una recta – Puntos linealmente dependientes o alineados Para comprobar si 3 puntos ABC están alineados y por tanto están sobre una recta, podemos calcular la distancia entre dos próximos, por ejemplo entre los puntos A y B. A continuación calculamos la distancia entre B y C, si ambas distancias sumadas determinan un número igual a la distancia entre los extremos A y C, ello quiere decir que los tres puntos están alineados.
Si las dos distancias no fueran iguales los 3 puntos formarían un triángulo, figura en la que siempre la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del otro lado. Para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, hacemos uso del teorema de Pitágoras, en el que la hipotenusa al cuadrado es igual al cateto al cuadrado más el cateto al cuadrado.
Otro método para comprobar si tres puntos están alineados 3 puntos están alineados o están sobre una recta si sus vectores tienen la misma pendiente. Se podría aducir que tienen igual pendiente pero no están sobre la misma línea, pero éste no va a ser el caso ya que los dos vectores van a involucrar a un mismo punto, por ejemplo el del medio.
Por tanto si los dos vectores pasan por un mismo punto, sólo deben tener la misma pendiente para que efectivamente los tres puntos que generan esos dos vectores estén alineados. En el dibujo podemos ver tres puntos ABC, construimos el vector BA, y el vector CB. Como todo vector se construye por la diferencia de las coordenadas de sus puntos, restamos la coordenada en x y en y de ambos puntos.
Observamos que la diferencia entre A y B y la diferencia entre B y C determinan los componentes de ambos vectores que son proporcionales, y como la pendiente de ambos es el cociente entre la coordenada en y entre la coordenada en x, tenemos que el cociente es el mismo para los dos, por lo que ambos tienen igual pendiente y por tanto los tres puntos son colineales, esto es, están sobre una misma línea.
¿Cuál es la fórmula que se utiliza en el teorema de Pitágoras?
En el triángulo de arriba, la suma de los cuadrados de los catetos es a 2 + b 2 y el cuadrado de la hipotenusa es. Por lo que, el teorema de Pitágoras se representa comúnmente como a 2 + b 2 = c 2 donde y son los catetos del triángulo rectángulo y es la hipotenusa.
¿Cuáles son los catetos y la hipotenusa de un triángulo?
Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, Los catetos son los lados menores del triángulo rectángulo, La hipotenusa es lado mayor del triángulo rectángulo,
